Modul ANREAL 2

Maaf, Tulisan ini belum diedit!

“TITIK KLUSTER”

 

Titik kluster atau sering juga disebut  titik akumulasi atau titik limit.

Defenisi: (Titik Kluster)Misalkan A  R, Titik c  R disebut titik Kluster dari A, Jika setiap lingkungan δ dari c yang disimbolkan dengan V δ (c)) = (c+δ , c-δ) memuat paling sedikit satu titik di A yang berbeda dengan c.

Contoh 1:

Misalkan A = [3,7]. Tentukan Apakan titik 4 merupakan titik kluster dari A?

Jawab :

Perhatikan bahwa :

Elemen dari A = [3,7]  adalah semua bilangan real dalam selang [3,7]

Perhatikan gambar berikut:

Jika diambil lingkungan δ  (V δ (4) = (4+δ , 4-δ)), pasti akan memuat paling sedikit satu titik di A selain 4.

Misalnya diambil δ =  , maka lingkungan sebesar   dari 4 yang dapat ditulis dengan (4) = (4-  , 4+ ) = (3,5 , 4,5)  memuat paling sedikit satu titik di A selain 4, misalnya 4,2.

Jadi : Titik 4 merupakan titik kluster dari A.

Contoh 2:

Misalkan C = (1,5]. Tentukan :

a)    Apakan titik 5 merupakan titik kluster dari C?

b)    Apakan titik 1 merupakan titik kluster dari C?

Jawab :

a)   Jika diambil lingkungan δ (V δ (5) = (5+δ , 5-δ)) berapapun kecilnya, pasti akan memuat paling sedikit satu titik di C yang berbeda dengan 5.

Jadi : Titik 5 merupakan titik kluster dari C.

b)    C = (1,5], Himpunan bilangan real pada selang C ini,  jika disajikan dalam bentuk pertidaksamaan, maka diperoleh :

C = {x │1  x  5, x  R}

Yang berarti bahwa titik 1 bukan merupakan anggota C, akan tetapi Meskipun titik 1 bukan merupakan anggota Himpunan C, akan tetapi jika diambil lingkungan δ (V δ (1) = (1+δ , 1-δ)) berapapun kecilnya, pasti akan memuat paling sedikit satu titik di C yang berbeda dengan 1.

Jadi : Titik 1 merupakan titik kluster dari C.

Dan,

Hal ini berarti bahwa untuk menjadi titik kluster dari suatu himpunan tidak harus menjadi anggota himpunan itu.

Contoh 3:

Misalkan B = {5}. Tentukan Apakan titik 5 merupakan titik kluster dari B?

Jawab :

      Jika diambil lingkungan δ (V δ (5) = (5+δ , 5-δ)) berapapun kecilnya, tidak memuat paling satupun titik di B yang berbeda dengan 5.

Jadi : Titik 5 bukan merupakan titik kluster dari B.

 

BAHAN DISKUSI KELOMPOK

Jawablah pertanyaan berikut  dengan singkat  dan tepat!

  1. Misalkan A = [4,9)

Tentukan :

a)    apakah  4 merupakan titik kluster dari A?

b)    apakah  5 merupakan titik kluster dari A?

c)    apakah  9 merupakan titik kluster dari A?

Jelaskan masing-masing!

  1. Misalkan B = {1,2,3}.

Tentukan : apakah 3 merupakan titik kluster dari B? Mengapa? Jelaskan!

  1. Misalkan C = {c1, c2,….., cn}, n  N

Tentukan : apakah cn merupakan titik kluster dari C? Mengapa? Jelaskan!

  1. Misalkan D = {c}.

Tentukan : apakah c merupakan titik kluster dari D? Mengapa? Jelaskan!

  1. Misalkan E = {  │n  N }.

Tentukan :

a)    Apakah ada anggota N yang merupakan titik kluster dari E?

b)    Apakah ada anggota Z yang merupakan titik kluster dari E?

Jelaskan masing-masing!

Teorema:Titik c  R disebut titik kluster dari A, jika hanya jika terdapat barisan ( ) di A dengan    c untuk setiap bilangan asli n, sehingga lim ( ) = c.

Bukti:

( ) Pembukktian dari arah kiri:

Jika Titik c  R disebut titik kluster dari A, maka akan ditunjukkan bahwa terdapat barisan ( ) di S dengan    c untuk setiap bilangan asli n, sehingga lim ( ) = c.

Karena titik c  R merupakan titik kluster dari A, maka untuk setiap lingkungan δ dari c, yaitu (V δ (c) = (c+δ , c-δ)) yang memuat paling sedikit satu titik di A yang berbeda dengan c.

Karena untuk setiap lingkungan δ dari c, yaitu (V δ (c) = (c+δ , c-δ)) memuat paling sedikit satu titik di A yang berbeda dengan c, maka (menurut Defenisi 2.1.1 dalam buku pengantar analisis real 1 hal. 38) bahwa  merupakan barisan dari suatu himpunan A, dan    c, sehingga (menurut defenisi limit barisan dalam buku pengantar analisis real 1 hal. 39) diperoleh bahwa :

limi ( ) = c.

Terbukti!

( )Pembukktian dari arah kanan:

Jika terdapat barisan ( ) di A, dengan    c, dan untuk setiap bilangan asli n, sehingga lim ( ) = c, maka akan ditunjukkan bahwa Titik c  R merupakan titik kluster dari A.

Karena terdapat barisan ( ) di A,    c,  dan lim ( ) = c, maka (menurut defenisi 2.1.4 dalam buku pengantar analisis real 1 hal. 39) diperoleh bahwa Terdapat bilangan asli K, sehingga jika n  K, berlaku    V δ (c).

Hal ini berarti bahwa lingkungan δ dari c, memuat paling sedikit satu titik di A yang berbeda dengan c.

Jadi c merupakan titik kluster dari A.

Terbukti!

LIMIT FUNGSI

Defenisi: (Limit Fungsi pada suatu titik).Misalkan A  R, Titik c  R titik Kluster dari A. L disebut limit fungsi dari f di c, jika untuk setiap lingkungan  dari L  R (V  (L)), terdapat lingkungan δ dari c (V δ (c)), sehingga untuk sebarang x  c yang berada di (V δ (c)  A), maka f(x) berada di V  (L).

 

Teorema: criteria  – δMisalkan A  R, Titik c  R titik Kluster dari A.

L disebut limit fungsi dari f di c.

Jika untuk setiap lingkungan    0, terdapat lingkungan δ > 0, sehingga untuk sebarang  │x – c│   δ, x di A, maka │f(x) – L│   .

Bukti:

Jika diberikan    0, harus dapat ditemukan  δ > 0, sehingga untuk sebarang x, berlaku │x – c│   δ, dan akan berakibat│f(x) – L│   , jika memang benar limit fungsi f di titik c adalah L.

Selanjutnya, jika L merupakan limit fungsi f di titik c, maka dikatakan f konvergen ke L di titik c. ( biasa disimbolkan dengan):

= L

Atau,

= L

Atau,

f(x)  L, jika x  c

Dan, jika f tidak punya limit di titik c, maka f dikatakan divergen di titik c.

Teorema:Misalkan A  R, f : A R, c  R titik Kluster dari A.

Jika f punya limit di c, maka limitnya tunggal.

Bukti:

Akan dibuktikan dengan KONTRADIKSI.

Misalkan A  R, f : A R, c  R titik Kluster dari A. Jika f punya limit di c, maka akan ditunjukkan bahwa limitnya tidak tunggal (lebih dari 1, katakanalah : K dan L yaitu K  L.

Karena A  R, f : A R, c  R titik Kluster dari A, maka setiap lingkungan δ dari c (V δ (c) = (c+δ , c-δ)) memuat paling sedikit satu titik di A yang berbeda dengan c.

Dan karena f punya limit di c, maka jika diberikan untuk setiap      0, terdapat  δ > 0.

Ambil bilangan real K, L yang merupakan limit fungsi f di titik c, sehingga untuk sebarang │x – c│   δ, x di A, maka berlaku :

│f(x) – K│

│f(x) – L│

Selanjutnya, jika diambil x = inf │x – c│, dimana x di A, f : A R, maka  diperoleh bahwa:

│f(x) – K│

│f(x) – L│

Hal ini berarti bahwa :

V  (K) = V  (L)

Karena V  (K) = V  (L) , maka K = L

Hal ini kontradiksi dengan pengandaian diatas, berarti bahwa limitnya Tunggal.

Terbukti!

CONTOH :

Tentukan nilai δ, dengan memberikan nilai  pada masing-masing limit berikut:

  1.    = k,
  2.  = c,
  3.  = ,

Penyelesaian:

  1.     = k

Analisis Pendahuluan :

Karena  = , maka f(x) = k, dan L = k.

Karena f(x) = k, dan L = k, maka untuk sebarang x,│f(x) – L│= │k – k│= 0.

Yang berarti bahwa berapapun x diambil, maka │f(x) – L│selalu 0.

Karena │f(x) – L│= 0 tentunya │f(x) – L│   .

Hal ini tentu mudah untuk menentukan nilai δ nya, yaitu karena berapaun x yang diambil asalkan memenuhi │x – c│   δ, akan berakibat │f(x) – L│= 0   .

Prosedur Formal:

Jika diambil  > 0, maka terdapat  δ > 0, sehingga │x – c│   δ, dan akan berakibat │f(x) – L│   .

Hal ini berarti bahwa:

= .

  1.  = c

Analisis Pendahuluan :

Jika diambil  > 0, maka akan ditunjukkan bahwa terdapat  δ > 0, sehingga memenuhi │x – c││   δ, akan berakibat │f(x) – L│   .

Karena  f(x) = x, L = c, maka │f(x) – L│= │x – c│,

Karena  > 0, dan δ > 0, maka dapat dipilih δ =  yang memenuhi │x – c││   δ, maka akan berakibat │f(x) – L│   , sebab │f(x) – L│= │x – c│.

Sehingga Prosedur Formalnya sebagai berikut :

Jika diambil  > 0, maka terdapat  δ > 0, sehingga │x – c││   δ, dan akan berakibat │f(x) – L│   .

Hal ini berarti bahwa:

= c

  1.  =

Analisis Pendahuluan :

Jika diambil  > 0, maka akan ditunjukkan bahwa terdapat  δ > 0, sehingga memenuhi │x – c│   δ, akan berakibat │f(x) – L│   .

Karena  f(x) = , L = , maka :

│f(x) – L│= │  – │

Atau,

│f(x) – L│=│x + c││x – c│…………………………………………………..(1)

Dalam kasus ini kita tidak dapat lagi memilih nilai δ = , sebab jika dilakukan juga, maka akan diperoleh sebagai berikut:

Karena  > 0, dan δ > 0, Katakanlah kita pilih δ =  yang memenuhi │x – c│   δ, maka berakibat │f(x) – L│tidak kurang dari  , sebab │f(x) – L│=│x + c││x – c│.

Sekarang diambil  > 0, δ > 0, │x – c│   δ dengan membatasi nilai │x – c│   δ, yaitu diambil │x – c│ < 1.

Menurut Teorema 1.2.4 (b) dalam buku pengantar analisis real 1 hal.14, diperoleh bahwa :

│x – c│  │x│- │c│

Karena │x – c│  │x│- │c│dan│x – c│ < 1, maka diperoleh bahwa :

│x│- │c│  1

Atau,

│x│   │c│+ 1

Dan menurut teorema 1.2.4 (a) dalam buku pengantar analisis real 1, diperoleh bahwa :

│x + c│  │x│+ │c│………………………………………………………(2)

Karena│x│   │c│+ 1, maka persamaan (2) menjadi:

│x + c│  │x│+ │c│

│x + c│  {│c│+ 1 } + │c│

│x + c│  2│c│+ 1…………………………………………..…………(3)

Selanjutnya :

Karena │x + c│   2│c│+ 1, maka persamaan (1) menjadi :

│f(x) – L│= │x + c││x – c│   (2│c│+ 1) │x – c│.

Hal ini berarti, jika diberikan sebarang nilai x yang memenuhi │x – c│ < 1, maka berakibat

│f(x) – L│   (2│c│+ 1) │x – c│………………………………………  (4)

Akan tetapi yang dikehendaki adalah dari nilai  yang diberikan, terdapat δ > 0, sehingga memenuhi │x – c││   δ, akan berakibat │f(x) – L│   .

Untuk itu, dan dari persamaan (4) dapat dipilih sebarang x, yang memenuhi :

│x – c│<

Dan jika persamaan (5) ini disubsitusikan ke (4), maka akan berakibat :

│f(x) – L│   (2│c│+ 1) │x – c│

│f(x) – L│   (2│c│+ 1)

│f(x) – L│<  .

Hal ini berarti bahwa  =

Secara umum, cara diatas tidaklah mudah dilakukan, sehingga diperlukan cara yang mudah.

Berikut diberikan criteria barisan untuk menyelidiki kokenvergenan suatu fungsi, juga criteria barisan untuk menentukan kedivergenan suatu fungsi.

Teorema: (Kriteria Barisan untuk limit)Misalkan A  R, f : A R, c  R titik Kluster dari A.

= L

Jika dan hanya jika untuk setiap barisan (xn) di A yang konvergen ke c, xn  c, untuk setiap n  N, barisan (f(x)) konvergen ke L.

Bukti: ( ) Pembukktian dari arah kiri:

Jika A  R, f : A R, c  R titik Kluster dari A.

= L

Maka Akan ditunjukkan bahwa : untuk setiap barisan (xn) di A yang konvergen ke c, xn  c, untuk setiap n  N, barisan (f(xn)) konvergen ke L.

Karena  A  R, f : A R, c  R titik Kluster dari A, dan

= L

maka menurut defenisi limit diperoleh bahwa untuk setiap    0, terdapat δ>0, sehingga untuk setiap x di A yang memenuhi │x – c│   δ.

Hal ini berarti bahwa:untuk setiap x di A memenuhi │x – c│  δ, maka terdapat barisan (xn) di A.

Karena terdapat barisan (xn) di A, dan c  R titik Kluster dari A, maka barisan (xn) yang konvergen ke c,  xn  c.

Karena barisan (xn) konvergen ke c, xn  c, maka untuk setiap nilai n  N, akan terdapat bilangan Asli K, sehingga untuk n  K, berlaku │xn – c│< δ, berakibat berlakunya │f(xn) – L│<  .

Karena │f(xn) – L│< , n  N, maka terdapat barisan (f(xn)) yang berarti bahwa barisan (f(xn)) konvergen ke L.

Terbukti!

( ) Pembukktian dari arah kanan:

Misalkan A  R, f : A R, c  R titik Kluster dari A.

Jika untuk setiap barisan (xn) di A yang konvergen ke c, xn  c, dan untuk setiap n  N, barisan (f(xn)) konvergen ke L, maka Akan ditunjukkan bahwa :

= L

Misalkan A  R, f : A R, c  R titik Kluster dari A.

Karena untuk setiap barisan (xn) di A yang konvergen ke c, xn  c, maka untuk sebarang xn di A memenuhi│xn – c│  δ.

Karena untuk sebarang xn di A memenuhi│xn – c│  δ, dan untuk setiap n  N, terdapat barisan (f(xn)) konvergen ke L, maka berakibat │f(xn) – L│<  .

Hal ini berarti  = L

Terbukti!

Contoh Soal: (Lihat dalam buku Pengantar analisis Real 1, M. Zaki Riyanto, hal. 40.)

Kriteria Kedivergenan:Misalkan A  R, f : A R, c  R titik Kluster dari A.

  1. L  R, L bukan limit f di c, jika terdapat barisan (xn) di A yang konvergen ke c, xn  c  untuk setiap n  N, tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen ke L.
  2. Fungsi f tidak punya limit di titik c, jika terdapat barisan (xn) di A yang konvergen ke c, xn  c untuk setiap n  N, tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen di R.

Contoh:

  1. Tunjukkan bahwa :

tidak ada

Jawab:

x menuju ke 0, maka nilai fungsi f(x) akan semakin membesar. Untuk itu dapat digunakan criteria kedivergenan untuk menunjukkan kedivergenan di titik 0 tersebut.

Menurut teorema 2.4.3 dalam buku PAR1, hal 57, maka dapat diambil barisan bagian dari barisan (x).

Misalkan diambil setiap (xn) =  , n  N

Karena (xn) = , n  N,  maka limit barisan (xn) ini menuju 0,

dan f(xn) =( ) = n, n  N

Karena f(xn) = n, n  N, maka barisan nilai fungsi (f(xn)) ini merupakan barisan tak hingga.

Karena barisan nilai fungsi (f(xn)) ini merupakan barisan tak hingga, maka maka menurut teorema 2.2.2. dalam buku PAR 1) barisan nilai fungsi (f(xn)) ini tidak punya limit.

Hal ini berarti  tidak ada di R

  1.  tidak ada di R

Jawab:

f(x) = .

Karena untuk x = 0 , tidak terdefenisi, maka akan ditunjukkan bahwa pada titik  x = 0 fungsi  tidak punya limit.

(Hal ini lebih mudah jika digunakan criteria barisan-kedivergenan), yaitu: akan ditunjukkan bahwa :

Ada dua barisan yang menuju 0 (nol), akan tetapi nilai fungsi dari kedua barisan tersebut konvergen ke dua bilangan yang berbeda.

Ingat : suatu barisan disebut divergen jika memiliki dua sub barisan yang konvergen ke dua bilangan yang berbeda (Lihat teorema 2.4.5 (i), hal. 58. Buku PAR 1).

Misalkan :

Dua barisan  yang menuju 0 (nol), yaitu (xn), dan (yn) yang tiap sukunya tidak sama dengan 0. dimana nilai fungsi dari kedua barisan tersebut konvergen ke dua bilangan yang berbeda, katakanlah f((xn)), dan f((yn)).

Ingat :Sin t = 0, untuk t = n , n  Z, dan

Sin t = 1, untuk t =    + 2n , n  Z.

Sekarang Misalkan bahwa:

Barisan (xn) =   , n  Z

Barisan (yn) =  , n  Z

Karena Barisan (xn) =  , maka :

lim (xn) = 0, dan

lim f ((xn)) = lim sin ( ) = sin ( ) = sin  = 0

Karena Barisan (yn) =  , maka :

lim (yn) = 0, dan

lim f ((yn)) = lim sin ( ) = sin ( ) = sin    + 2n  = 1.

Karena lim (xn) = 0, dan lim (yn) = 0, berarti kedua barisan ini konvergen ke satu titik, yaitu titik 0 (nol).

Karena lim f ((xn)) = 0, dan lim f ((yn)) = 1, berarti kedua nilai fungsi dari barisan (xn), dan (yn) konvergen ke dua bilangan yang berbeda, yaitu 0, dan 1.

Karena  kedua barisan (xn), dan (yn) konvergen ke satu titik, dan nilai fungsi dari barisan (xn), dan (yn) konvergen ke dua bilangan yang berbeda, hal ini berarti bahwa :

fungsi  tidak punya limit. atau,

tidak ada di R

  1. Tunjukkan bahwa:

tidak ada di R

Defenisi: (signum x)1, untuk x > 0

Sgn(x) =       0, untuk x = 0

-1, untuk x < 0

Jawab:

tidak ada di R

Dipilih barisan (xn) =  , dan (yn) = – .

Karena barisan (xn) =  , dan (yn) = – , maka kedua barisan ini menuju ke 0, akan tetapi barisan nilai fungsi barisan (f(xn)), menuju ke 1, dan (f(yn)) menuju ke -1.

Hal ini berarti bahwa ada dua barisan  yang menuju ke 0, akan tetapi barisan nilai fungsinya konvergen ke bilangan yang berbeda.

Jadi dapat disimpulkan   tidak ada di R

Tentang Dody

Bangko-Jambi
Pos ini dipublikasikan di Uncategorized. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s